Vitezăeste definită ca viteza unui obiect într-o direcție dată. În multe situații obișnuite, pentru a găsi viteza, folosim ecuația v = s / t, unde v este egal cu viteza, s este egal cu deplasarea totală față de poziția inițială a obiectului și t este egal cu timpul scurs. Cu toate acestea, acest lucru tehnic dă doar obiectul in medie viteza peste calea sa. Folosind calculul, este posibil să calculați viteza unui obiect în orice moment de-a lungul traseului său. Aceasta se numește viteza instantanee și este definit de ecuație v = (ds) / (dt) , sau, cu alte cuvinte, derivatul obiectuluiviteza medieecuaţie.
Pași
Parte unu din 3: Calculul vitezei instantanee
- unu Începeți cu o ecuație pentru viteză în termeni de deplasare. Pentru a obține viteza instantanee a unui obiect, mai întâi trebuie să avem o ecuație care să ne indice poziția sa (în termeni de deplasare) la un anumit moment în timp. Aceasta înseamnă că ecuația trebuie să aibă variabila s pe o parte de la sine și t pe de altă parte (dar nu neapărat de la sine), așa:
s = -1,5t2+ 10t + 4
de unde să cumpăr racheta de rachetă
- În această ecuație, variabilele sunt:
- Deplasare = s . Distanța parcursă de obiect de la poziția sa de plecare. De exemplu, dacă un obiect merge 10 metri înainte și 7 metri înapoi, deplasarea sa totală este de 10 - 7 = 3 metri (nu 10 + 7 = 17 metri).
- Timp = t . Explicativ. De obicei măsurată în secunde.
- În această ecuație, variabilele sunt:
- 2 Luați derivata ecuației. derivatunei ecuații este doar o ecuație diferită care vă spune panta sa în orice moment dat. Pentru a găsi derivata formulei de deplasare, diferențiați funcția cu această regulă generală pentru găsirea derivatelor: Dacă y = a * xn, Derivat = a * n * xn-1 Această regulă se aplică fiecărui termen de pe partea „t” a ecuației.
- Cu alte cuvinte, începeți parcurgând partea „t” a ecuației dvs. de la stânga la dreapta. De fiecare dată când ajungeți la un „t”, scădeți 1 din exponent și înmulțiți întregul termen cu exponentul original. Orice termeni constanți (termeni care nu conțin „t”) vor dispărea pentru că vor fi înmulțiți cu 0. Acest proces nu este de fapt atât de greu pe cât pare - să derivăm ecuația din pasul de mai sus ca exemplu:
s = -1,5t2+ 10t + 4
(2) -1,5t(2-1)+ (1) 10tunsprezece+ (0) 4p0
-3unu+ 10t0
-3t + 10
- Cu alte cuvinte, începeți parcurgând partea „t” a ecuației dvs. de la stânga la dreapta. De fiecare dată când ajungeți la un „t”, scădeți 1 din exponent și înmulțiți întregul termen cu exponentul original. Orice termeni constanți (termeni care nu conțin „t”) vor dispărea pentru că vor fi înmulțiți cu 0. Acest proces nu este de fapt atât de greu pe cât pare - să derivăm ecuația din pasul de mai sus ca exemplu:
- 3 Înlocuiți „s” cu „ds / dt. „Pentru a arăta că noua noastră ecuație este o derivată a primei, înlocuim„ s ”cu notația„ ds / dt ”. Din punct de vedere tehnic, această notație înseamnă „derivata lui s față de t”. O modalitate mai simplă de a ne gândi la asta este doar că ds / dt este doar panta oricărui punct dat din prima ecuație. De exemplu, pentru a găsi panta liniei făcută de s = -1,5t2+ 10t + 4 la t = 5, am introduce doar „5” în t în derivatul său.
- În exemplul nostru de rulare, ecuația noastră finalizată ar trebui să arate acum:
ds / dt = -3t + 10
- În exemplul nostru de rulare, ecuația noastră finalizată ar trebui să arate acum:
- 4 Conectați o valoare t pentru noua dvs. ecuație pentru a găsi viteza instantanee. Acum că aveți ecuația dvs. derivată, găsirea vitezei instantanee în orice moment este ușor. Tot ce trebuie să faceți este să alegeți o valoare pentru t și să o conectați la ecuația dvs. derivată. De exemplu, dacă dorim să găsim viteza instantanee la t = 5, am înlocui doar „5” cu t în derivata ds / dt = -3 + 10. Apoi, am rezolva doar ecuația astfel:
ds / dt = -3t + 10
ds / dt = -3 (5) + 10
ds / dt = -15 + 10 = -5 metri / secundă- Rețineți că folosim eticheta „metri / secundă” de mai sus. Deoarece avem de-a face cu deplasarea în termeni de metri și timp în termeni de secunde și viteza în general este doar deplasarea în timp, această etichetă este potrivită.
Parte 2 din 3: Estimarea grafică a vitezei instantanee
- unu Graficează deplasarea obiectului în timp. În secțiunea de mai sus, am menționat că derivatele sunt doar formule care ne permit să găsim panta în orice punct pentru ecuația pentru care luați derivata. De fapt, dacă reprezentați deplasarea unui obiect cu o linie pe un grafic, panta liniei în orice punct dat este egală cu viteza instantanee a obiectului în acel punct.
- Pentru a grafica deplasarea unui obiect, utilizați axa x pentru a reprezenta timpul și axa y pentru a reprezenta deplasarea. Atunci, doarpuncte de complotprin conectarea valorilor pentru t în ecuația de deplasare, obținerea valorilor s pentru răspunsurile dvs. și marcarea punctelor t, s (x, y) pe grafic.
- Rețineți că graficul se poate extinde sub axa x. Dacă linia care reprezintă mișcarea obiectului tău scade sub axa x, aceasta reprezintă obiectul tău care se mișcă în spatele locului în care a început. În general, graficul dvs. nu se va extinde în spatele axei y - nu măsurăm adesea viteza pentru obiectele care se mișcă înapoi în timp!
- 2 Alegeți un punct P și un punct Q care este aproape de el pe linie. Pentru a găsi panta unei linii într-un singur punct P, folosim un truc numit „luarea unei limite”. A lua o limită implică luarea a două puncte (P, plus Q, un punct lângă ea) pe linia curbată și găsirea pantei liniei care le leagă iar și iar, pe măsură ce distanța dintre P și Q devine mai mică.
- Să spunem că linia noastră de deplasare conține punctele (1,3) și (4,7). În acest caz, dacă dorim să găsim panta la (1,3), putem seta (1,3) = P și (4.7) = Q .
- 3 Găsiți panta dintre P și Q. Panta dintre P și Q este diferența dintre valorile y pentru P și Q față de diferența dintre valorile x pentru P și Q. Cu alte cuvinte, H = (șiÎ- DaP) / (XÎ- XP) , unde H este panta dintre cele două puncte. În exemplul nostru, panta dintre P și Q este:
H = (șiÎ- DaP) / (XÎ- XP)
H = (7 - 3) / (4 - 1)
H = (4) / (3) = 1,33
- 4 Repetați de mai multe ori, apropiindu-vă de Q de P. Scopul dvs. aici este de a face distanța dintre P și Q din ce în ce mai mică până când se apropie de un singur punct. Cu cât distanța dintre P și Q devine mai mică, cu atât panta segmentelor dvs. de linie mică va fi mai aproape de panta din punctul P. Să facem acest lucru de câteva ori pentru ecuația noastră de exemplu, folosind punctele (2,4.8), (1,5 , 3,95) și (1,25,3,49) pentru Q și punctul nostru inițial de (1,3) pentru P:
Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
H = (1,8) / (1) = 1.8
Q = (1,5,3,95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
H = (.95) / (. 5) = 1.9
Q = (1,25,3,49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
H = (.49) / (. 25) = 1,96 - 5 Estimează panta pentru un interval infinit de mic pe linie. Pe măsură ce Q se apropie din ce în ce mai mult de P, H se va apropia din ce în ce mai mult de panta în punctul P. În cele din urmă, la un interval infinit de mic, H va egala panta la P. Deoarece nu suntem în măsură să măsurăm sau să calculăm un infinit interval mic, doar estimăm panta la P odată ce este clar din punctele pe care le-am încercat.
- În exemplul nostru, pe măsură ce am apropiat Q de P, am obținut valori de 1,8, 1,9 și 1,96 pentru H. Deoarece aceste numere par să se apropie de 2, putem spune că 2 este o estimare bună pentru panta la P.
- Amintiți-vă că panta la un punct dat pe o dreaptă este egală cu derivata ecuației liniei în acel punct. Deoarece linia noastră arată deplasarea obiectului nostru în timp și, așa cum am văzut în secțiunea de mai sus, viteza instantanee a unui obiect este derivata deplasării sale într-un punct dat, putem spune, de asemenea, că 2 metri / secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la t = 1.
Parte 3 din 3: Exemple de probleme
- unu Găsiți viteza instantanee la t = 4 având în vedere ecuația de deplasare s = 5t3- 3t2+ 2t + 9. Acesta este la fel ca exemplul nostru din prima secțiune, cu excepția faptului că avem de-a face cu o ecuație cubică mai degrabă decât cu o ecuație pătratică, deci o putem rezolva în același mod.
- În primul rând, vom lua derivata ecuației noastre:
s = 5t3- 3t2+ 2t + 9
s = (3) 5t(3 - 1)- (2) 3p(douăzeci și unu)+ (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2)- 6t(unu)+ 2t(0)
15t(2)- 6t + 2cum să alegi mărimea prindere de tenis
- Apoi, vom introduce valoarea noastră pentru t (4):
s = 15t(2)- 6t + 2
15 (4)(2)- 6 (4) + 2
15 (16) - 6 (4) + 2
240 - 24 + 2 = 218 metri / secundă
- În primul rând, vom lua derivata ecuației noastre:
- 2 Utilizați estimarea grafică pentru a găsi viteza instantanee la (1,3) pentru ecuația de deplasare s = 4t2- t. Pentru această problemă, vom folosi (1,3) ca punctul nostru P, dar va trebui să găsim alte câteva puncte în apropiere pentru a le folosi ca puncte Q. Apoi, este doar o chestiune de a găsi valorile noastre H și de a face o estimare.
- În primul rând, să găsim puncte Q la t = 2, 1,5, 1,1 și 1,01.
s = 4t2- t
t = 2: s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, deci Q = (2,14)
t = 1,5: s = 4 (1,5)2- (1,5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, deci Q = (1,5,7,5)
t = 1.1: s = 4 (1.1)2- (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, deci Q = (1.1,3.74)
t = 1,01: s = 4 (1,01)2- (1,01)
4 (1,0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, deci Q = (1,01,3,0704) - Apoi, să obținem valorile noastre H:
Q = (2,14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
H = (11) / (1) = unsprezece
Q = (1,5,7,5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
H = (4,5) / (. 5) = 9
Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
H = (.74) / (. 1) = 7.3
Q = (1,01,3,0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
H = (.0704) / (. 01) = 7.04 - Deoarece valorile noastre H par să se apropie foarte mult de 7, putem spune asta 7 metri / secundă este o estimare bună pentru viteza instantanee la (1,3).
- În primul rând, să găsim puncte Q la t = 2, 1,5, 1,1 și 1,01.
Întrebări și răspunsuri ale comunității
Căutare Adăugați o întrebare nouă- Întrebare Care este diferența dintre viteza instantanee și cea medie? Instantaneul este în acel moment, în timp ce media este media întregului interval de timp.
- Întrebare Cum calculez accelerația instantanee? Accelerarea instantanee poate fi considerată drept valoarea derivatei vitezei instantanee. De exemplu: s = 5 (t ^ 3) - 3 (t ^ 2) + 2t + 9 v = 15 (t ^ 2) - 6t + 2 a = 30t - 6 Dacă vrem să cunoaștem accelerația instantanee la t = 4, apoi a (4) = 30 * 4 - 6 = 114 m / (s ^ 2)
- Întrebare Când viteza instantanee și viteza medie sunt aceleași? Viteza instantanee vă spune viteza unui obiect într-un singur moment din timp. Dacă obiectul se mișcă cu o viteză constantă, atunci viteza medie și viteza instantanee vor fi aceleași. În toate situațiile, este puțin probabil să fie la fel.
- Cum pot găsi viteza zero între două ori? Răspuns
- Cum pot găsi viteza zero între două ori? Răspuns
- Cum calculez 5t + 12t ^ 2? Răspuns
Publicitate
Video . Prin utilizarea acestui serviciu, unele informații pot fi partajate cu YouTube.
sfaturi
- Pentru a găsi accelerația (schimbarea vitezei în timp), utilizați metoda din prima parte pentru a obține o ecuație derivată pentru funcția de deplasare. Apoi, luați o altă derivată, de data aceasta a ecuației dvs. derivate. Acest lucru vă va oferi o ecuație pentru găsirea accelerării la un moment dat - tot ce trebuie să faceți este să vă conectați valoarea pentru timp.
- Ecuația care leagă Y (deplasare) de X (timp) ar putea fi foarte simplă, cum ar fi, de exemplu, Y = 6x + 3. În acest caz, panta este constantă și nu este necesar să se găsească o derivată pentru a găsi panta, care este, urmând modelul de bază Y = mx + b pentru grafice liniare, 6.
- Deplasarea este ca distanța, dar are o direcție stabilită, ceea ce face ca deplasarea să fie un vector și să accelereze un scalar. Deplasarea poate fi negativă, în timp ce distanța va fi doar pozitivă.
Publicitate Trimiteți un sfat Toate trimiterile de sfaturi sunt examinate cu atenție înainte de a fi publicate Vă mulțumim că ați trimis un sfat pentru revizuire!
